Die Entfernungsberechnung mit Geokoordinaten

Wie Ortsangaben auf der Erde bestimmt und wie anhand der Koordinaten einfach und verständlich die Entfernungsberechnung durchgeführt wird, versuche ich auf dieser Seite zu erklären.

Sie finden auf dieser Webseite eine einfache Berechnungsmethode - für genauere Berechnungen benutzen Sie bitte den Entfernungsrechner von wissen-info.de.

Die Erde ist eine Scheibe!

Dass die Erde keine Scheibe ist, wissen wir längst - eine Kugel ist die Erde jedoch auch nicht! So ist die Erde u. a. an den Polen abgeflacht. Für meine Berechnungen gehe ich jedoch von einem einheitlichen Radius von 6.370 km aus (Erddurchmesser: ungefähr 2 x 6370 km ≈ 12.740 km), der in etwa dem mittleren Erdradius entspricht und für meine Berechungen ausreichend genau ist.

Wie bestimmt man die Lage eines Ortes?

Anhand der Geokoordinaten kann man die Position eines Ortes auf der Erdkugel bestimmen. Was sind jedoch genau die Koordinaten eines Ortes? Genau genommen besteht ein Ort aus einer Menge von Koordinaten, die jeden Punkt innerhalb der Ortsgrenzen beschreiben. Durch die Beschreibung der Ortsgrenze kann die Lage des Orts ziemlich genau bestimmt werden. Für meine Berechungen benutze ich den Mittelpunkt eines Ortes.

Wo fängt eine Kugel an?

Eine Kugel, von der in bei meinen Berechungen ausgehe, hat keinen Start- und Endpunkt. Wie kann man trotzdem eine Position berechen? Feste Größen, an denen man sich orientiert, sind die Erdachse mit den dazugehörigen Erdpolen (Nord- und Südpol), der Äquator und Nullmeridian (der Längengrad "0"), der 1884 durch die Internationale Meridiankonferenz festgelegt wurde und durch die Sternwarte in Greenwich (London) verläuft.

Längen- und Breitengrade

Die Erde ist in Längengrade und Breitengrade aufgeteilt. Längengrade verlaufen vom Nordpol zum Südpol und sind jeweils einen halben Erdumfang (Erdumfang: ungefähr 2 x Π x 6.370 km ≈ 40.000 km, Π ≈ 3,1416) lang. Die Längengrade werden jeweils 180° in östlicher und westlicher Richtung vom Nullmeridian aus gezählt. Die Breitengrade beginnen mit "0" im Äquator und werden jeweils 90° in nördlicher und südlicher Richtung gezählt (Nord- und Südhalbkugel).

Wie lang ist ein Grad?

Der Äquator (Breitengrad "0") sowie zwei gegenüberliegende Längengrade, bilden einen Ganzkreise, deren Umfang dem Erdumfang von ≈ 40.000 km entspricht. Da ein voller Kreis immer 360° hat, ergibt sich eine Länge für ein Grad von ≈ 40.000 km / 360° ≈ 111,11 km.

Genauer wird ein Grad durch 60 nautische Meilen (NM) beschrieben, wobei eine nautische Meile mit 1.852 m definiert ist, also 60 x 1.852 m = 111,12 km. Das bedeutet insgesamt, dass die Entfernungen zwischen den Breitengraden jeweils 111,12 km beträgt, für die Längengrade gilt das nur im Schnittpunkt mit dem Äquator. Den Abstand der Längengrade für einen beliebigen Breitengrad errechnet sich durch die Formel cos(Breitengrad) x 111,12 km.

Formate der Gradangabe

Grundsätzlich besteht eine Geokoordinate aus einem Breitengrad und einem Längengrad, wobei der Breitengrad immer zuerst genannt wird. Klassisch werden Grandangaben im Format Grad Minuten' Sekunden" Himmelsrichtung angegeben (Sexagesimal Format). Dabei gilt, das 60 Minuten gleichbedeutend mit 60 nautischen Meilen sind und ein Grad ergeben, 60 Sekunden ergeben wiederum eine Minute - Beispiel: (z. B. 47° 25' 12" N).

Heute werden Geokoordinaten meist dezimal angegeben. Eine Umrechung ermöglicht die Formel Grad + Minute/60 + Sekunde/3600. So kann zum Beispiel die Koordinate der Zugspitze (47° 25' N, 10° 59' O) in ≈ 47.4167 N, 10.9833 O umgerechnet werden. Oft wird bei der dezimalen Schreibweise auf die Himmelsrichtungen verzichtet und stattdessen ein negatives Vorzeichen für südliche und westliche gelegene Koordinaten benutzt (47.4167, 10.9833).

Entfernungsberechnung

Liegen zwei Geokoordinaten auf dem selben Längen- oder Breitengrad, so können wir die Entfernungsberechnung aus den obigen Überlegungen ableiten - wir können so bei unserer Berechung von einem Kreis ausgehen, was die Berechung stark vereinfacht. Normalerweise liegen zwei Orte aber an beliebigen Punkten auf der Kugel, was die Berechung erschwert.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten für die Berechung von Entfernungen zwischen Geokoordinaten. Willst du besonders genau rechnen, oder soll die Berechnung möglichst schnell erfolgen? Für eine einfache Umgebungssuche, bei der z. B. alle Orte im Umkreis von 50 km gesucht werden, kann man einfach auf den Satz des Pythagoras a² + b² = c² zurückgreifen, da die geringe Erdkrümmung hier nur eine zu vernachlässigende Ungenauigkeit in der Berechnung liefert, dafür benötigt die Berechung wenig Rechenzeit, was bei großen Datenmengen von Vorteil sein kann.

Für die Berechung von größeren Entfernungen sollte eine genauere Methode verwendet werden:

Entfernung km = acos(sin(Breitengrad 1) x sin(Breitengrad 2) + cos(Breitengrad 1) x cos(Breitengrad 2) x cos(Längengrad 1 - Längengrad 2) ) * Erdradius

Die Breiten- und Längengrade müssen bei dieser Entfernungsberechnung im Bogenmaß angegeben werden. Die Umrechung des dezimalen Formats in das Bogenmaß erfolgt über die Formel Grad / 180 x Π (≈ 3,141).

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